19. 二叉树的最大深度：给定一个二叉树，找出其最大深度

PangHu大约 3 分钟

要找到二叉树的最大深度，我们可以使用递归的方法进行遍历。二叉树的最大深度是指从根节点到最远叶子节点的最长路径上的节点数量。

一、递归法计算二叉树的最大深度

1. 思路

如果树是空的（即根节点为 null），则最大深度为 0。
对于非空树，最大深度等于其左子树和右子树的最大深度中的较大值加 1。

递归的步骤如下：

递归地计算左子树和右子树的最大深度。
当前节点的深度等于左子树和右子树最大深度的较大值加 1。

2. 代码实现

// 定义二叉树的节点类
class TreeNode {
    int val;
    TreeNode left;
    TreeNode right;

    TreeNode(int val) {
        this.val = val;
        this.left = null;
        this.right = null;
    }
}

public class BinaryTreeMaxDepth {

    public static int maxDepth(TreeNode root) {
        // 基本情况：空树的深度为 0
        if (root == null) {
            return 0;
        }

        // 递归计算左子树和右子树的最大深度
        int leftDepth = maxDepth(root.left);
        int rightDepth = maxDepth(root.right);

        // 当前节点的最大深度是左、右子树的最大深度的较大值加 1
        return Math.max(leftDepth, rightDepth) + 1;
    }

    public static void main(String[] args) {
        // 创建一个示例二叉树
        TreeNode root = new TreeNode(3);
        root.left = new TreeNode(9);
        root.right = new TreeNode(20);
        root.right.left = new TreeNode(15);
        root.right.right = new TreeNode(7);

        // 计算二叉树的最大深度
        int depth = maxDepth(root);
        System.out.println("The maximum depth of the binary tree is: " + depth);
    }
}

3. 时间复杂度和空间复杂度

时间复杂度：O(n)，其中 n 是二叉树中的节点数量。每个节点都被访问一次。
空间复杂度：O(h)，其中 h 是二叉树的高度。递归调用的栈深度为 h。

二、迭代法（使用广度优先搜索）

我们也可以使用广度优先搜索（BFS）来计算二叉树的最大深度。广度优先搜索通过逐层遍历树，计算树的层数。

1. 思路

使用队列（Queue）来进行广度优先搜索。
初始化队列，将根节点加入队列，深度计数器初始化为 0。
每次进入一个新层，深度计数器加 1。
逐层遍历树，直到所有节点都被遍历完。

2. 代码实现

import java.util.LinkedList;
import java.util.Queue;

public class BinaryTreeMaxDepthIterative {

    public static int maxDepth(TreeNode root) {
        if (root == null) {
            return 0;
        }

        Queue<TreeNode> queue = new LinkedList<>();
        queue.offer(root);
        int depth = 0;

        while (!queue.isEmpty()) {
            int levelSize = queue.size(); // 当前层的节点数
            for (int i = 0; i < levelSize; i++) {
                TreeNode node = queue.poll();
                // 将下一层的节点加入队列
                if (node.left != null) {
                    queue.offer(node.left);
                }
                if (node.right != null) {
                    queue.offer(node.right);
                }
            }
            depth++; // 每遍历完一层，深度加 1
        }

        return depth;
    }

    public static void main(String[] args) {
        // 创建一个示例二叉树
        TreeNode root = new TreeNode(3);
        root.left = new TreeNode(9);
        root.right = new TreeNode(20);
        root.right.left = new TreeNode(15);
        root.right.right = new TreeNode(7);

        // 计算二叉树的最大深度
        int depth = maxDepth(root);
        System.out.println("The maximum depth of the binary tree is: " + depth);
    }
}

3. 时间复杂度和空间复杂度

时间复杂度：O(n)，其中 n 是二叉树中的节点数量。每个节点都被访问一次。
空间复杂度：O(n)，在最坏情况下（完全二叉树），队列中会存储 O(n) 的节点。

三、总结

递归法：通过递归地计算左右子树的最大深度来求解。时间复杂度为 O(n)，空间复杂度为 O(h)，其中 h 是树的高度。递归方法非常直观且易于实现。
迭代法（BFS）：通过层序遍历二叉树来计算深度。时间复杂度为 O(n)，空间复杂度为 O(n)。迭代法使用队列来实现，非常适合大规模数据的处理。

两种方法都能有效地计算二叉树的最大深度，可以根据实际情况选择合适的方法。递归法在树的高度较小时更为简洁，而迭代法适合在树的高度较大时使用。