22. 二叉树的最近公共祖先：找出二叉树中两个节点的最近公共祖先

PangHu大约 3 分钟

找出二叉树中两个节点的最近公共祖先（Lowest Common Ancestor, LCA）是经典的树结构问题。最近公共祖先是指在二叉树中，节点 p 和 q 的最低公共祖先节点 LCA 是一个节点，使得 LCA 是节点 p 和 q 的祖先，并且 LCA 的深度是所有公共祖先中最大的。

1. 问题描述

给定一棵二叉树和树中的两个节点 p 和 q，找出这两个节点的最近公共祖先。

2. 算法思路

为了找到这两个节点的最近公共祖先，可以使用递归的方法。基本思路是从根节点开始递归遍历树，判断以下几种情况：

如果当前节点是 p 或 q，那么当前节点就是 p 或 q 的祖先节点。
在左子树中查找 p 和 q 的公共祖先。
在右子树中查找 p 和 q 的公共祖先。
如果 p 和 q 分别在当前节点的左右子树中，那么当前节点就是 p 和 q 的最近公共祖先。
如果 p 和 q 都在左子树或右子树中，那么公共祖先在左子树或右子树中，返回找到的那个子树中的结果。

3. 代码实现

下面是 Java 代码的实现：

class TreeNode {
    int val;
    TreeNode left;
    TreeNode right;
    TreeNode(int x) {
        val = x;
    }
}

public class LowestCommonAncestor {

    public TreeNode lowestCommonAncestor(TreeNode root, TreeNode p, TreeNode q) {
        // 如果当前节点为空，或者当前节点就是 p 或 q，那么当前节点就是要找的最近公共祖先
        if (root == null || root == p || root == q) {
            return root;
        }

        // 在左子树中查找
        TreeNode left = lowestCommonAncestor(root.left, p, q);
        // 在右子树中查找
        TreeNode right = lowestCommonAncestor(root.right, p, q);

        // 如果 p 和 q 分别在当前节点的左右子树中，那么当前节点就是最近公共祖先
        if (left != null && right != null) {
            return root;
        }

        // 如果 p 和 q 都在左子树中，返回左子树中的最近公共祖先
        return left != null ? left : right;
    }

    public static void main(String[] args) {
        LowestCommonAncestor solution = new LowestCommonAncestor();

        // 构造一个二叉树：
        //      3
        //     / \
        //    5   1
        //   / \ / \
        //  6  2 0  8
        //    / \
        //   7   4
        TreeNode root = new TreeNode(3);
        root.left = new TreeNode(5);
        root.right = new TreeNode(1);
        root.left.left = new TreeNode(6);
        root.left.right = new TreeNode(2);
        root.right.left = new TreeNode(0);
        root.right.right = new TreeNode(8);
        root.left.right.left = new TreeNode(7);
        root.left.right.right = new TreeNode(4);

        TreeNode p = root.left; // 节点 5
        TreeNode q = root.left.right.right; // 节点 4

        TreeNode ancestor = solution.lowestCommonAncestor(root, p, q);
        System.out.println("Lowest Common Ancestor of nodes " + p.val + " and " + q.val + " is: " + ancestor.val);
    }
}

4. 示例解释

假设我们有如下二叉树：

设 p 是节点 5，q 是节点 4。
遍历树时：
- 在根节点 3 中，递归检查左子树和右子树。
- 在左子树 5 中，找到了 p 节点，并递归检查 5 的子树，在 5 的右子树中找到了 q 节点。
- 因为 p 和 q 都位于 5 的子树中，且 5 节点是 p 节点，因此 5 就是 p 和 q 的最近公共祖先。

5. 复杂度分析

时间复杂度：O(n)，其中 n 是二叉树中的节点数。最坏情况下，需要遍历树的所有节点。
空间复杂度：O(h)，其中 h 是二叉树的高度。由于递归调用栈的空间占用为 O(h)。

6. 总结

通过递归遍历二叉树，可以高效地找到两个节点的最近公共祖先。这个方法直观易懂，适用于普通二叉树和二叉搜索树。在处理二叉树问题时，使用递归往往能以简洁的方式解决复杂问题。